关于单个总体方差是否等于(大于等于、小于等于)某个常数的假设假设。我们要使用卡方检验。 双尾和单尾检验的原假设和备择假设如下： $$ \begin{array}{ll} H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, & H_v: \sigma^2 \neq \sigma^2 \\ H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2, & H_v: \sigma^2<\sigma_0^2 \\ H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2, & H_v: \sigma^2>\sigma_0^2 \end{array} $$ 卡方统计量的自由度为 $n-1$, 计算方法如下: $$ \chi^2=\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2} $$ 其中 $s^2$ 为样本方差。
例1：某股票的历史月收益率的标准差为 $5 \%$, 这一数据是基于 2003 年以前的历史数 据測定的。现在,我们选取 2004-2006年这 36 个月的月收益率数据, 来检验其标准差是否 还为 $5 \%$ 。我们测得这 36 月的月收益率标准差为 $6 \%$ 。以显著性水平为 $0.05$, 检验其标准差是否还为 $5 \%$,结果如何?
解：
（1）写出原假设和备择假设
$$
H_0: \sigma^2=(5 \%)^2, \quad H_a: \sigma^2 \neq(5 \%)^2
$$
（2）使用卡方检验
(3) $\chi^2=\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2}=(36-1) \times(6 \%) /(5 \%)^2=50.4$
（4）查表得到卡方关键值。对于显著性水平 $0.05$, 由于是双尾检验, 两边的拒绝区域面 积都为 $0.025$, 自由度为 35 , 因此关键值为 $20.569$ 和 $53.203$ 。
（5）由于 $50.4<53.203$, 卡方统计亘没有落在拒绝区域,因此我们不能拒绝原假设。
(6) 最后我们陈述结论：该股票的标准差没有显著地不等于 $5 \%$ 。
参考资料